过抛物线y方=2px(p>0)

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/10 02:21:56
过抛物线y方=2px(p>0)的焦点的一条直线与它交于P,Q两点，过点P和此抛物线顶点的直线与准线交于点M.求证：直线MQ平行于此抛物线的对称轴。

证明:设点P,Q的坐标分别是P（x1,y1),Q(x2,y2)(y1>y2),则直线OP的方程为
y=(y1/x1)x=[y1/(y1^2/2p)]x=2px/y1
所以点M的纵坐标为y=2p(-p/2)/y1=-p^2/y1
（分析法）欲证MQ平行于x轴（x轴为抛物线的对称轴），即证点M，Q的纵坐标相等，即证-p^2/y1=y2,即y1y2=-p^2...(1)
下面对情形一证明（1）成立：
情形一：当PQ不是抛物线的通径时，设直线PQ的方程为 y=k[x-(p/2)] ,将它与抛物线的方程联立后消去x得：y^2-(2p/k)y-p^2=0,所以y1y2=-p^2（韦达定理），即（1）成立，所以此时MQ平行于抛物线的对称轴；
情形二：当PQ为抛物线的通径时，易得点P的坐标为P（p/2,p),所以直线PQ的方程为y=2x,所以点M的纵坐标为-p=y2(=-p),所以MQ平行于抛物线的对称轴.
综上，PQ平行于抛物线的对称轴.